Psicogiochi’s Blog

Il problema di Monty Hall

Posted on: novembre 17, 2008

Il problema di Monty Hall (MHP) è un famoso esempio di “illusione cognitiva” spesso utilizzata dagli psicologi del ragionamento per dimostrare la difficoltà delle persone a ragionare in termini di probabilità.

Il ragionamento umano non sempre aderisce alle regole formali della logica. Molte ricerche hanno rivelato che spesso le persone sbagliano nel calcolare la probabilità di base, sbagliano nell’applicare le regole della teoria della probabilità seguendo piuttosto regole dettate dalla teoria dell’utilità attesa. Ma perché le persone fanno questi errori? Molti di questi errori sono “illusioni cognitive” e proprio cercando di capire quali sono i processi cognitivi sottostanti a tali ragionamenti, che talvolta portano ad una soluzione corretta ed altre ad una soluzione errata, si potrà forse sviluppare dei metodi e delle teorie che aiuteranno le persone a ragionare “meglio”.
In questo studio esaminiamo un problema controintuitivo, denominato il “problema di Monty Hall” (MHP), dal nome del famoso presentatore televisivo che ne gli anni ’70 condusse il popolarissimo gioco televisivo “Facciamo un affare!”.
Questo problema è affascinante in quanto la soluzione del problema richiede che le persone adoperino le regole della logica che contraddicano l’intuizione.

IL PROBLEMA DI MONTY HALL

Supponi di essere ad un gioco televisivo a premi. Ti viene detto di scegliere una porta su tre. Dietro una porta c’è un’automobile lussuosa, dietro le altre due ci sono due capre. Tu scegli una porta, diciamo la numero 1, che non apri. Il presentatore, che sa cosa c’è dietro alle porte, apre un’altra porta, diciamo la numero 3, che rivela una capra. Il presentatore a questo punto ti dice: “vuoi cambiare con la porta numero 2?” Hai qualche vantaggio nel cambiare la tua scelta iniziale?

Questa è la versione originaria del gioco di Monty Hall. Un dibattito molto acceso è intrapreso nei primi anni ’90 quando Marilyn vos Savant, accreditata all’epoca dal Guinness Book of World Record di un QI (quoziente intellettivo) pari a 228 facendola apparire come la persona vivente più intelligente al mondo, rispondeva ai lettori della rivista Parade nella rubrica “chiedi a Marilyn”. Lei cercò di convincere i lettori che cambiare la prima scelta è un vantaggio per il concorrente. Dapprima dichiarò: “sì, dovresti cambiare, la prima porta ha 1/3 di probabilità di vittoria, ma la seconda ne ha 2/3″. Poi cercò di convincerli facendoli pensare ad una variante con 1.000.000 di porte invece che tre, ed il presentatore che ne apre 999.998. A quel punto dovrebbe essere intuitivo che cambiare la propria scelta porta un vantaggio nella probabilità di vincere l’automobile.
Le risposte dei lettori, talvolta di istruzione molto elevata perfino nel campo della statistica, non si facevano aspettare ed erano molto critiche. Tra tutte le lettere che Marilyn vos Savant riceveva, il 92% di quelle provenienti dalla gente cosiddetta comune era contraria alla soluzione corretta, mentre il 65% di quelle provenienti dalle università era contraria alla soluzione corretta. Ma sappiamo che “le risposte di matematica non sono determinate dai voti” (vos Savant, 1997).
Sebbene questo problema apparentemente semplice sia stato preventivamente discusso in letteratura statistica (Selvin, 1975), è solo dopo la rubrica di vos Savant che fu studiato a fondo. “Il fenomeno è particolarmente interessante a causa della sua specificità, la sua riproducibilità e la sua immunità dalla scolarità” concluse Piattelli-Palmarini aggiungendo “nessun altro quiz statistico si è preso gioco della gente come questo. Anche fisici vincitori di premi Nobel danno sistematicamente la risposta sbagliata, e insistono su di essa pronti a rimproverare chiunque gli propone la risposta corretta”. Definì il problema di Monty Hall come l’esempio più espressivo di “illusione cognitiva” o “tunnel mentale” nel quale “anche le migliori menti, perfino quelle più allenate, cadono”.
Krauss e Wang (2003) giunsero alla conclusione che, probabilmente, i processi di ragionamento di coloro che risolvono il problema con successo hanno un denominatore comune.
Effettuando una “simulazione mentale” delle tre possibili combinazioni, e considerando l’intera sequenza di azioni specificata da ognuna delle tre combinazioni possibili, si capisce che in due delle tre combinazioni il partecipante vincerebbe l’automobile cambiando scelta.

In termini di elementi psicologici emergono le seguenti caratteristiche:
1) piuttosto che ragionare con le probabilità, il partecipante deve contare e confrontare le frequenze;
2) queste frequenze corrispondono alle possibili combinazioni di capre e automobili dietro le porte. Il partecipante deve confrontare il numero di combinazioni nelle quali vincerebbe l’automobile cambiando la propria scelta, con il numero di combinazioni nelle quali vincerebbe mantenendo la propria scelta;
3) deve considerare le possibili combinazioni come se apparissero dietro le porte;
4) deve ignorare l’ultimo pezzo di informazione fornita nella versione standard del problema (“Monty Hall apre la porta 3″). Prendere per certa questa informazione eliminerebbe la prima combinazione (“Monty Hall apre la porta 2″), perché il presentatore dovrebbe in questo caso aprire la porta che nasconde l’automobile.

Il punto 4 va chiarito: sebbene semanticamente “porta 3″ nella versione standard del problema è nominata come un esempio, molti concorrenti prendono l’apertura della porta 3 per certa, e basano il loro ragionamento su questo fatto. L’assunzione che la porta 3 sia quella effettivamente aperta da Monty Hall viene successivamente rinforzata dalla domanda che segue: “vuoi cambiare con la porta 2?”. Una volta formata, questa assunzione blocca il concorrente da una possibile soluzione intuitiva e corretta.
Il punto 1 viene supportato da ricerche di Gigerenzer e Hoffrage (1995) e Aaron e Spivey (1998) i quali hanno dimostrato sperimentalmente che rappresentando l’informazione in termini frequentisti piuttosto che in termini probabilistici, il concorrente viene aiutato a risolvere il problema ragionando nei termini del teorema di Bayes, che è il modo corretto di risolvere il problema ragionando correttamente sulla probabilità di base. Questo suggerisce un vantaggio nel ragionare con le frequenze piuttosto che con le probabilità. Sebbene il formato della versione standard del problema di Monty Hall non è ovviamente determinato, esso comunque non presenta domande sulle frequenze. La domanda “Hai qualche vantaggio del cambiare la tua scelta iniziale?” si riferisce piuttosto alla probabilità di un evento singolo.
Sulla base degli studi di Johnson-Laird (1983) sulla costruzione dei “modelli mentali” alla base del ragionamento umano nei problemi di logica, alcuni autori tra i quali Legrenzi, Girotto e Caverni estesero questa teoria al ragionamento probabilistico, compreso il problema di Monty Hall. Loro suggerivano sei modelli mentali che il concorrente avrebbe dovuto formarsi per risolvere correttamente il problema. È interessante notare che anche Marilyn vos Savant usò sei modelli mentali nel suo tentativo di spiegare il problema di Monty Hall (vos Savant, 1997). I suoi modelli avevano una struttura 3 X 2, in cui le dimensioni erano le tre possibili posizioni dell’automobile e le due possibili strategie di scelta (mantenere Vs cambiare), ma questo approccio non convinse i suoi lettori.
Ragionando in termini puramente probabilistici, il problema viene risolto con il teorema di Bayes. Assumendo che il concorrente scelga prima la porta 1 e che poi Monty Hall apra la porta 3 (versione standard), la probabilità che l’automobile sia dietro la porta 2 può essere espressa con la formula:

p(C2 |M3) = [p(M3 | C2) * p(C2)] / [p(M3 | C1) * p(C1) + p(M3 | C2) * p(C2) + p(M3 | C3) * p(C3)]

dove Ci = automobile dietro la porta i (i = 1,2,3) e M3 = Monty Hall apre la porta 3.
Da notare che nella versione standard p(M3|C3) = 0.
Nel calcolare la probabilità condizionata di un evento A dato un evento B, cioè p(A | B), il teorema di Bayes asserisce che bisogna considerare le probabilità condizionate inverse p(B | A) e p(B | not A). Per il problema di Monty Hall, dove deve essere calcolata la probabilità p(C2 | M3), bisogna considerare nel teorema di Bayes le tre probabilità condizionate p(M3 | C3), p(M3 | C2) e p(M3 | C1).
Il processo cognitivo per stabilire queste tre probabilità è indipendente dal comportamento del concorrente ma è in relazione con il comportamento di Monty Hall in tutte tre le possibili combinazioni.
Una soluzione del problema in termini del teorema di Bayes si focalizza pertanto sulla condotta del presentatore piuttosto che del partecipante. Conseguentemente il cambiamento di prospettiva, da quella del partecipante a quella di Monty Hall, corrisponde ad un cambiamento del ragionamento da termini non-Bayesani a quelli Bayesani.
Per giungere alla soluzione corretta in termini Bayesani, il problema dovrebbe probabilmente essere formulato in termini matematici più chiari, nel senso che la versione standard nulla dice sulla strategia di Monty Hall, sulle regole esatte del gioco e nemmeno sulla probabilità a priori della distribuzione dell’automobile e delle capre dietro alle porte. Ma sebbene queste informazioni mancanti siano rilevanti dal punto di vista matematico, non lo sono dal punto di vista psicologico in quanto sembrerebbe che i partecipanti assumano le regole implicitamente, sebbene non siano state elencate esplicitamente. Sembrerebbe infatti che ciò che blocca il corretto ragionamento intuitivo non è la mancanza di informazioni, ma la mancanza della giusta rappresentazione delle informazioni (Krauss e Wang, 2003).
La maggioranza degli studi sul problema di Monty Hall riporta la percentuale di decisioni corrette solo tra il 10-15%.

Il problema di Monty Hall si conferma una delle “illusioni cognitive” maggiormente controintuitive e più difficili da comprendere.

1 Response to "Il problema di Monty Hall"

Ottima presentazione della questione! Chiara ed esaustiva.
Barbara Mastracchio

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

novembre: 2008
L M M G V S D
     
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930

Archivi

Iscriviti

Ricevi al tuo indirizzo email tutti i nuovi post del sito.

%d blogger cliccano Mi Piace per questo: